第一篇高等数学

第一章函数极限连续(3)

考点与要求(3)

1函数(3)

内容精讲(3)

一、定义(3)

二、重要性质、定理、公式(5)

例题分析(6)

一、求分段函数的复合函数(6)

二、关于函数有界（无界）的讨论(7)

2极限(8)

内容精讲(8)

一、定义(8)

二、重要性质、定理、公式(9)

三、计算极限的一些有关方法(10)

例题分析(12)

一、求函数的极限(13)

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限(18)

三、含有｜x｜，e1x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限(21)

四、无穷小的比较(21)

五、数列的极限(22)

六、极限运算定理的正确运用(26)

3函数的连续与间断(28)

内容精讲(28)

一、定义(28)

二、重要性质、定理、公式(29)

例题分析(30)

一、讨论函数的连续与间断(30)

二、在连续条件下求参数(30)

三、连续函数的零点问题(31)

第二章一元函数微分学(32)

考点与要求(32)

1导数与微分，导数的计算(32)

内容精讲(32)

一、定义(32)

二、重要性质、定理、公式(33)

例题分析(36)

一、按定义求一点处的导数(36)

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数(38)

三、绝对值函数的导数(42)

四、由极限式表示的函数的可导性(43)

五、导数与微分、增量的关系(44)

六、求导数的计算题(44)

2导数的应用(46)

内容精讲(46)

一、定义(46)

二、重要性质、定理、公式与方法(47)

例题分析(49)

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论(49)

二、渐近线(51)

三、曲率与曲率圆(52)

四、最大值、最小值问题(52)

3中值定理、不等式与零点问题(54)

内容精讲(54)

一、重要定理(54)

二、重要方法(55)

例题分析(56)

一、不等式的证明(56)

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题(61)

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点(63)

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点(64)

五、“双中值”问题(65)

六、零点的个数问题(66)

七、证明存在某ξ满足某不等式(67)

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系(68)

第三章一元函数积分学(70)

考点与要求(70)

1不定积分与定积分的概念、性质、理论(70)

内容精讲(70)

一、定义(70)

二、重要性质、定理、公式(71)

例题分析(72)

一、分段函数的不定积分与定积分(72)

二、定积分与原函数的存在性(74)

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分(75)

2不定积分与定积分的计算(78)

内容精讲(78)

一、基本积分公式(78)

二、基本积分方法(79)

例题分析(81)

一、简单有理分式的积分(81)

二、三角函数的有理分式的积分(82)

三、简单无理式的积分(82)

四、两种不同类型的函数相乘的积分(84)

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分(85)

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分(86)

七、含参变量带绝对值号的定积分(88)

八、积分计算杂例(89)

3反常积分及其计算(91)

内容精讲(91)

一、定义(91)

二、重要性质、定理、公式(92)

例题分析(93)

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性(93)

二、关于奇、偶函数的反常积分(95)

4定积分的应用(96)

内容精讲(96)

一、基本方法(96)

二、重要几何公式与物理应用(97)

例题分析(98)

一、几何应用(98)

二、物理应用(101)

5定积分的证明题(105)

内容精讲(105)

例题分析(105)

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等(105)

二、由积分定义的函数求极限(107)

三、积分不等式的证明(108)

四、零点问题(114)

第四章向量代数与空间解析几何(117)

考点与要求(117)

1向量代数(117)

内容精讲(117)

一、与向量有关的基本概念(117)

二、向量的运算及性质(118)

例题分析(119)

一、向量的运算(119)

二、向量运算的应用及向量的位置关系(121)

2平面与直线(122)

内容精讲(122)

一、平面方程(122)

二、直线方程(122)

三、平面与直线间的位置关系(123)

例题分析(124)

一、建立平面方程(124)

二、建立直线方程(125)

三、与平面和直线的位置关系有关的问题(127)

3空间曲面与曲线(130)

内容精讲(130)

一、旋转面及其方程(130)

二、柱面及其方程(130)

三、常见的二次曲面及图形(131)

四、空间曲线及其方程(132)

五、空间曲线的投影(132)

例题分析(132)

一、建立柱面方程(132)

二、建立旋转面方程(133)

三、建立空间曲线的投影曲线方程(135)

第五章多元函数微分学(136)

考点与要求(136)

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念）(136)

内容精讲(136)

一、多元函数(136)

二、二元函数的极限与连续(137)

三、二元函数的偏导数与全微分(137)

例题分析(139)

一、讨论二重极限(139)

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性(141)

三、讨论二元函数的可微性(142)

2多元函数的微分法(146)

内容精讲(146)

一、复合函数的偏导数与全微分(146)

二、隐函数的偏导数与全微分(148)

例题分析(148)

一、求复合函数的偏导数与全微分(148)

二、求隐函数的偏导数与全微分(157)

3极值与最值(162)

内容精讲(162)

一、无条件极值(162)

二、条件极值(163)

例题分析(163)

一、无条件极值问题(163)

二、条件极值（最值）问题(166)

三、多元函数的最大(小)值问题(167)

4方向导数与梯度多元微分在几何上的应用泰勒定理(172)

内容精讲(172)

一、方向导数(172)

二、梯度(172)

三、曲面的切平面与法线(173)

四、曲线的切线和法平面(173)

五、泰勒定理(174)

例题分析(174)

一、有关方向导数与梯度(174)

二、有关曲面的切平面和曲线的切线(177)

三、泰勒定理(179)

第六章多元函数积分学(180)

考点与要求(180)

1重积分(180)

内容精讲(180)

 一、二重积分(180)

二、三重积分(183)

例题分析(185)

一、计算二重积分(185)

二、累次积分交换次序及计算(194)

三、与二重积分有关的综合题(197)

四、与二重积分有关的积分不等式问题(199)

五、计算三重积分(202)

六、三重积分的累次积分(205)

2曲线积分(206)

内容精讲(206)

一、对弧长的线积分(第一类线积分)(206)

二、对坐标的线积分（第二类线积分）(207)

例题分析(209)

一、对弧长的线积分（第一类线积分）(209)

二、对坐标的线积分（第二类线积分）(211)

3曲面积分(220)

内容精讲(220)

一、对面积的面积分（第一类面积分）(220)

二、对坐标的面积分（第二类面积分）(221)

例题分析(223)

一、对面积的面积分（第一类面积分）(223)

二、对坐标的面积分（第二类面积分）(225)

4场论初步(231)

内容精讲(231)

一、梯度（详见第五章第4节之二）(231)

二、通量(231)

三、散度(231)

四、旋度(231)

例题分析(232)

一、梯度、旋度、散度的计算(232)

5多元积分的应用(233)

内容精讲(233)

例题分析(234)

一、几何应用(234)

二、求物理量(235)

第七章无穷级数(239)